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如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点C在第一象限,AB⊥BC,BC=BA,点P在线段OB上,OP=OA,AP的延长线与CB的延长线交于点M,AB与CP交于点N.(1)点C的坐
题目详情
如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点C在第一象限,AB⊥BC,BC=BA,点P在线段OB上,OP=OA,AP的延长线与CB的延长线交于点M,AB与CP交于点N.
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(1)点C的坐标为:___(用含m,n的式子表示);
(2)求证:BM=BN;
(3)设点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,求证:D,G关于x轴对称.
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(1)点C的坐标为:___(用含m,n的式子表示);
(2)求证:BM=BN;
(3)设点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,求证:D,G关于x轴对称.
▼优质解答
答案和解析
(1) 过C点作CE⊥y轴于点E,
∵CE⊥y轴,
∴∠BEC=90°,
∴∠BEC=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBE=90°,
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBE=∠BAO,
在△AOB与△BEC中,
,
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴CE=OB=n,BE=OA=m,
∴OE=OB+BE=m+n,
∴点C的坐标为(n,m+n).
故答案为:(n,m+n);
(2)证明:∵△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=OP,CE=BO,
∴PE=OB=CE,
∴∠EPC=45°,
∠APC=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABM与△CBN中,
,
∴△ABM≌△CBN(ASA),
∴BM=BN;
(3)证明:∵点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,
∴AD=AC,AG=AC,
∴AD=AG,
∵∠1=∠5,∠1=∠6,
∴∠5=∠6,
在△DAH与△GAH中,
,
∴△DAH≌△GAH(SAS),
∴D,G关于x轴对称.
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∵CE⊥y轴,
∴∠BEC=90°,
∴∠BEC=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBE=90°,
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBE=∠BAO,
在△AOB与△BEC中,
|
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴CE=OB=n,BE=OA=m,
∴OE=OB+BE=m+n,
∴点C的坐标为(n,m+n).
故答案为:(n,m+n);
(2)证明:∵△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=OP,CE=BO,
∴PE=OB=CE,
∴∠EPC=45°,
∠APC=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABM与△CBN中,
|
∴△ABM≌△CBN(ASA),
∴BM=BN;
(3)证明:∵点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,
∴AD=AC,AG=AC,
∴AD=AG,
∵∠1=∠5,∠1=∠6,
∴∠5=∠6,
在△DAH与△GAH中,
|
∴△DAH≌△GAH(SAS),
∴D,G关于x轴对称.
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