（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD=BC，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧BD

题目详情

（2014•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，

，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧

的长；
（2）求证：BF=

BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．

▼优质解答

答案和解析

（1）连接OB，OD，
∵∠DAB=120°，∴

BCD

所对圆心角的度数为240°，
∴∠BOD=360°-240°=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴劣弧

的长为：

120

180

×π×3=2π；

（2）证明：连接AC，
∵AB=BE，∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=

AC，
∵

，
∴

DAB

CBA

，
∴BD=AC，
∴BF=

BD；

（3）过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，
∵BF为△EAC的中位线，
∴BF∥AC，
∴∠FBE=∠CAE，
∵

，
∴∠CAB=∠DBA，
∵由作法可知BP⊥AE，
∴∠GBP=∠FBP，
∵G为BD的中点，
∴BG=

BD，
∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，