（2014•随州）已知两条平行线l1、l2之间的距离为6，截线CD分别交l1、l2于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l1、l2于A、B两点．（1）操作发现

Question

（2014•随州）已知两条平行线l₁、l₂之间的距离为6，截线CD分别交l₁、l₂于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l₁、l₂于A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l₃∥l₁，作PE⊥l₁，点E是垂足，过点B作BF⊥l₃，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线l₁所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4√(5)？请说明理由．

Answer 1

（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPB，
又∵∠PEA=∠PFB=90°，
∴△PEA∽△PFB；

（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，
∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，

当AE=BF时，PA=PB，
∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，
∴△PEA≌△PFB，
∴PA=PB；

（3）如图2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，
∴PE=(1)/(2)x，
由题意，PE+BF=6，BF=AE，
∴AE=6-(1)/(2)x，
当AB=4√(5)时，由题意得PA=2√(10)，
Rt△PEA中，PE²+AE²=PA²，
即（(1)/(2)x）²+（6-(1)/(2)x）²=40，
整理得：x²-12x-8=0，
解得：x=6-2√(11)＜0（舍去）或x=6+2√(11)，
∵x=6+2√(11)＞6+6=12，又CD=12，
∴点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，
∴不合题意，
综上，不存在满足条件的实数x．