（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．（1）当CM

Question

（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．

Answer 1

（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△ABC，
∴(AC)/(AB)＝(AM)/(AC)，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC2+BC2)=5，
∴AM=(AC2)/(AB)=(9)/(5)，
∴点M运动的时间为：(9)/(5)；

（2）①如图1，当点A′落在AB上时，
此时CM⊥AB，
则点M运动的时间为：(9)/(5)；
②如图2，当点A′落到BC上时，CM是∠ACB平分线，
过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F，
∴ME=MF，
∵S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM，
∴(1)/(2)AC•BC=(1)/(2)AC•MF+(1)/(2)BC•ME，
∴(1)/(2)×3×4=(1)/(2)×3×MF+(1)/(2)×4×MF，
解得：MF=(12)/(7)，
∵∠C=90°，
∴MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴(MF)/(BC)＝(AM)/(AB)，
即((12)/(7))/(4)＝(AM)/(5)，
解得：AM=(15)/(7)，
综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：(9)/(5)或(15)/(7)．