如图，在△ABC中，AB=BC=10，tan∠ABC=43，点P是边BC上的一点，在线段AP上取点M，将线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PN．设BP=t．（1）如图1，当点P在点B，点M是AP中点时，试求AN的长；（2）如图2

Question

如图，在△ABC中，AB=BC=10，tan∠ABC=(4)/(3)，点P是边BC上的一点，在线段AP上取点M，将线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PN．设BP=t．
（1）如图1，当点P在点B，点M是AP中点时，试求AN的长；
（2）如图2，当(PM)/(MA)=(1)/(3)时．
①求点N到BC边的距离（用含t的代数式表示）；
②当点P从点B运动至点C时，试求点N运动路径的长．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠ABN=90°，AB=10，
∴BN=BM=(1)/(2)AB=5，
∴AN=√(102+52)=5√(5)；
（2）①（Ⅰ）当0≤t≤6时（如图1）

过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F．
∵∠AEP=∠PFN=90°，∠APF+∠FPN=90°，∠APF+∠PAE=90°，
∴∠PAE=∠FPN，
∴△APE～△PNF，
∵(PM)/(MA)=(1)/(3)，
∴(PF)/(AE)=(FN)/(PE)=(PN)/(AP)=(1)/(4)，
∴DN=(1)/(4)(6-t)=(3)/(2)-(1)/(4)t；
（Ⅱ）当6≤t≤10时，
同理可得：DN=(1)/(4)(t-6)=(1)/(4)t-(3)/(2)；
②（如图2）点N的运动路径是一条线段，

当P与O重合时，FN=(3)/(2)，PF=2，
当P与C重合时，F′N′=1，PF′=2，
∴点N的路径长NN′=√(102+(1+(3)/(2))2)=(5)/(2)√(17)．