已知①对于任意的x∈R都有f（x+2π3）=f（x）；②对于任意的x∈R，都有f（π6-x）=f（π6+x）．则其解析式可以是f（x）=（写出一

Question

已知①对于任意的x∈R都有f（x+ (2π)/(3)）=f（x）；
②对于任意的x∈R，都有f（ (π)/(6)-x）=f（ (π)/(6)+x）．
则其解析式可以是f（x）= ___（写出一个满足条件的解析式即可）

Answer 1

∵对于任意的x∈R都有f（x+(2π)/(3)）=f（x）；
∴f（x）是周期函数，T=(2π)/(3)，
又∵对于任意的x∈R，都有f（(π)/(6)-x）=f（(π)/(6)+x）．
∴f（x）关于x=(π)/(6)对称，
故可以是三角函数，
其中ω=(2π)/((2π)/(3))=3；
故f（x）=cos（3（x-(π)/(6)））=sin3x；
故答案为：sin3x．