已知1/(a-x)-x/(b-x)=1,写出已知a,b,求x的公式,并求公式适用的条件.

Question

已知1/(a-x)-x/(b-x)=1,写出已知a,b,求x的公式,并求公式适用的条件.

Answer 1

1/(a-x)-x/(b-x)=1,
去分母得b-x-x(a-x)=(a-x)(b-x),
b-x-ax+x^=ab-(a+b)x+x^,
(b-1)x=ab-b,①
(1)b≠1时x=(ab-b)/(b-1),
由（ab-b)/(b-1)=a得ab-b=ab-a,a=b;
由（ab-b)/(b-1)=b得ab-b=b^-b,b=0或a=b.
∴当b=0或a=b时x=(ab-b)/(b-1),是增根；此外,是原方程的根.
（2）b=1时方程①变为0x=a-1,
(i)a=1时x可取1以外的任意数；
（ii)a≠1时,原方程无解.