（2013•海淀区二模）如图所示为回旋加速器的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上．在D1盒中心A处有离

Question

（2013•海淀区二模）如图所示为回旋加速器的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上．在D₁盒中心A处有离子源，它产生并发出的α粒子，经狭缝电压加速后，进入D₂盒中．在磁场力的作用下运动半个圆周后，再次经狭缝电压加速．为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致．如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D型盒的边缘，以最大速度被导出．已知a粒子电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计，设α粒子从离子源发出时的初速度为零．（不计α粒子重力）求：
（1）α粒子第一次被加速后进入D₂盒中时的速度大小；
（2）α粒子被加速后获得的最大动能E_k和交变电压的频率f
（3）α粒子在第n次由D₁盒进入D₂盒与紧接着第n+1次由D₁盒进入D₂盒位置之间的距离△x．

Answer 1

（1）设α粒子第一次被加速后进入D₂盒中时的速度大小为v₁，根据动能定理有
   qU＝(1)/(2)m

v

2 1

解得，v1＝√((2qU)/(m))
（2）α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能．设此时的速度为v，有
  qvB＝(mv2)/(R)
解得：v＝(qBR)/(m)
设α粒子的最大动能为E_k，则
   E_k=(1)/(2)mv2
解得：E_k=(q2B2R2)/(2m)
设交变电压的周期为T、频率为f，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期（在狭缝的时间极短忽略不计），则
交变电压的频率T=(2πR)/(v)=(2πm)/(Bq)
由f＝(1)/(T)得
则交变电压的频率f＝(Bq)/(2πm)
（3）离子经电场第1次加速后，以速度v₁进入D₂盒，设轨道半径为r₁
则  r 1＝(mv2)/(qB)＝(1)/(B)√((2mU)/(q))
离子经第2次电场加速后，以速度v₂进入D₁盒，设轨道半径为r₂
则 r 2＝(mv2)/(qB)＝(1)/(B)

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