已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2）的部分图象如图所示，（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若f(α2π)=12，求cos（2π3-α）的值．

Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ） （x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜(π)/(2)）的部分图象如图所示，
（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f((α)/(2π))=(1)/(2)，求cos（(2π)/(3)-α）的值．

Answer 1

（Ⅰ）由图象可知A=2，(T)/(4)=(5)/(6)-(1)/(3)=(1)/(2)，
∴T=2，ω=(2π)/(T)=π将点P（(1)/(3)，2）代入y=2sin（ωx+ϕ），
得 sin（(π)/(3)+ϕ）=1，又|ϕ|＜(π)/(2)，所以ϕ=(π)/(6)．
故所求解析式为f（x）=2sin（πx+(π)/(6)） （x∈R）                       6分
（Ⅱ）∵f（(a)/(2π)）=(1)/(2)，∴2sin（(a)/(2)+(π)/(6)）=(1)/(2)，即，sin（(α)/(2)+(π)/(6)）=(1)/(4)
∴cos（(2π)/(3)-a）=cos[π-2（(π)/(6)+(a)/(2)）]=-cos2（(π)/(6)+(a)/(2)）
=2sin²（(π)/(6)+(a)/(2)）-1=-(7)/(8)…12分．