已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，−2)．（1）求f（x）的解析式；（2）当x

Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜(π)/(2)）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为(π)/(2)，且图象上一个最低点为M((2π)/(3)，−2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，(π)/(12)]，求f（x）的最值；
（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x＝(π)/(12)对称，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

（1）由最低点为M((2π)/(3)，−2) 可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为(π)/(2)得 (T)/(2)=(π)/(2)，即T=π，ω＝(2π)/(T)＝(2π)/(π)＝2．
由点M((2π)/(3)，−2)在图象上的2sin(2×(2π)/(3)+φ)＝−2，即sin((4π)/(3)+φ)＝−1，
故(4π)/(3)+φ＝2kπ−(π)/(2)，k∈Z，∴φ＝2kπ−(11π)/(6)，又φ∈(0，(π)/(2))，
∴φ＝(π)/(6)，故f(x)＝2sin(2x+(π)/(6))．
（2）因为 x∈[0，(π)/(12)]，∴2x+(π)/(6)∈[(π)/(6)，(π)/(3)]，所以当2x+(π)/(6)＝(π)/(6)时，即x=0时，f（x）取得最小值1；当2x+(π)/(6)＝(π)/(3)，即x＝(π)/(12)时，f(x)取得最大值√(3)．
（3）由题意得 g(x)＝f((π)/(6)−x)＝2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ，
可得  kπ−(π)/(2)≤x≤kπ，所以g（x）的单调增区间是[kπ−(π)/(2)，kπ]，k∈Z．