已知方程y=(3-k)sinx-(k/2)cos2x-(3/2)k+6(k属于R）x属于[0,2π],求证方程的曲线必经过一定点.

Question

已知方程y=(3-k)sinx-(k/2)cos2x-(3/2)k+6(k属于R）x属于[0,2π],求证方程的曲线必经过一定点.

Answer 1

方程y=(3-k)sinx-(k/2)cos2x-(3/2)k+6
=3sinx+6-k(sinx+1/2*cos2x+3/2)
∴3sinx-y+6-k(sinx+1/2*cos2x+3/2)=0
∵cos2x=1-2sin²x
∴原方程可化为：
3sinx-y+6+k(sin²x-sinx-2）=0
恒过点即是与k无关的点
令sin²x-sinx-2=0
解得：sinx=2（舍去）或sinx=-1
∵x∈[0,2π]
∴x=3π/2
此时由3sinx-y+6=0
即-3-y+6=0
得 y=3
∴曲线恒过定点(3π/2,3)