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已知方程y=(3-k)sinx-(k/2)cos2x-(3/2)k+6(k属于R)x属于[0,2π],求证方程的曲线必经过一定点.
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已知方程y=(3-k)sinx-(k/2)cos2x-(3/2)k+6(k属于R)x属于[0,2π],求证方程的曲线必经过一定点.
▼优质解答
答案和解析
方程y=(3-k)sinx-(k/2)cos2x-(3/2)k+6
=3sinx+6-k(sinx+1/2*cos2x+3/2)
∴3sinx-y+6-k(sinx+1/2*cos2x+3/2)=0
∵cos2x=1-2sin²x
∴原方程可化为:
3sinx-y+6+k(sin²x-sinx-2)=0
恒过点即是与k无关的点
令sin²x-sinx-2=0
解得:sinx=2(舍去)或sinx=-1
∵x∈[0,2π]
∴x=3π/2
此时由3sinx-y+6=0
即-3-y+6=0
得 y=3
∴曲线恒过定点(3π/2,3)
=3sinx+6-k(sinx+1/2*cos2x+3/2)
∴3sinx-y+6-k(sinx+1/2*cos2x+3/2)=0
∵cos2x=1-2sin²x
∴原方程可化为:
3sinx-y+6+k(sin²x-sinx-2)=0
恒过点即是与k无关的点
令sin²x-sinx-2=0
解得:sinx=2(舍去)或sinx=-1
∵x∈[0,2π]
∴x=3π/2
此时由3sinx-y+6=0
即-3-y+6=0
得 y=3
∴曲线恒过定点(3π/2,3)
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