（2014•顺义区一模）已知函数f（x）=cos（2x+π3）-cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是x=2π3③函数f（x）图象的一个

Question

（2014•顺义区一模）已知函数f（x）=cos（2x+(π)/(3)）-cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是x=(2π)/(3)
③函数f（x）图象的一个对称中心为（(5π)/(12)，0）
④函数f（x）的递增区间为[kπ+(π)/(6)，kπ+(2π)/(3)]，k∈Z．
则正确结论的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

∵f（x）=cos（2x+(π)/(3)）-cos2x=cos2xcos(π)/(3)−sin2xsin(π)/(3)−cos2x=(1)/(2)cos2x−(√(3))/(2)sin2x−cos2x=−(√(3))/(2)sin2x−(1)/(2)cos2x=-sin(2x+(π)/(6))．
∴T＝(2π)/(2)＝π，即函数f（x）的最小正周期为π，
但f(0)＝−sin(π)/(6)＝−(1)/(2)≠0，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；
∵f((2π)/(3))＝−sin(2×(2π)/(3)+(π)/(6))＝−sin(3π)/(2)＝1，
∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=(2π)/(3)．命题②正确；
∵f((5π)/(12))＝−sin(2×(5π)/(12)+(π)/(6))＝−sinπ＝0，
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（(5π)/(12)，0）．命题③正确；
由(π)/(2)+2kπ≤2x+(π)/(6)≤(3π)/(2)+2kπ，得：
(π)/(6)+kπ≤x≤(2π)/(3)+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的递增区间为[kπ+(π)/(6)，kπ+(2π)/(3)]，k∈Z．命题④正确．
∴正确结论的个数是3个．
故选：C．