已知函数f(x)=2msin2x-23msinx•cosx+n的定义域为[0，π2]，值域为[-5，4]．试求函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

Question

已知函数f(x)=2msin2x-2√(3)msinx•cosx+n的定义域为[0，(π)/(2)]，值域为[-5，4]．试求函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

Answer 1

f(x)=-√(3)msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+(π)/(6))+m+nx∈[0，(π)/(2)]
⇒2x+(π)/(6)∈[(π)/(6)，(7π)/(6)]⇒sin(2x+(π)/(6))∈[-(1)/(2)，1]
当m＞0时，f（x）_max=-2m(-(1)/(2))+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5
解得m=3，n=-2，
从而，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+φ）（x∈R），
T=2π，最大值为5，最小值为-5；
当m＜0时，解得m=-3，n=1，
从而，g(x)=-3sinx+2cosx=√(13)sin(x+φ)，T=2π，最大值为√(13)，
最小值为-√(13)．