将两块含45゜角大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图1摆放，连AC、BD．（1）求证：AC=BD；（2）将图1中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C1OD1的位置（如图2），连结AC1，BD1，直线AC1与BD

Question

将两块含45゜角大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图1摆放，连AC、BD．

（1）求证：AC=BD；
（2）将图1中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C₁OD₁的位置（如图2），连结AC₁，BD₁，直线AC₁与BD₁，存在着什么样的位置关系，请下结论并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△COD和△AOB是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠AOB=90°，CO=DO，AO=BO，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
∴AC=BD．
（2）AC₁⊥BD₁．
理由：延长BD₁交AO于N，交AC₁于M，
∵∠C₁OD₁=∠AOB，
∴∠C₁OD₁-∠AOD₁=∠AOB-∠AOD₁，
∴∠AOC₁=∠BOD₁．
在△AC₁O和△BD₁O中

AO＝BO

∠AOC1＝∠BOD1

C1O＝D1O

，
∴△AC₁O≌△BD₁O（SAS）
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠BNO=90°，且∠ANM=∠BNO，
∴∠1+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°．
∴AC₁⊥BD₁．