已知：如图，矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，将A点折叠至MN上，落在A′点的位置，折痕为BE．（1）求∠ABE的度数；（2）连接EN、BN，若EN⊥BE，BN=21，求矩形ABCD的周长．

Question

已知：如图，矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，将A点折叠至MN上，落在A′点的位置，折痕为BE．

（1）求∠ABE的度数；
（2）连接EN、BN，若EN⊥BE，BN=√(21)，求矩形ABCD的周长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∠BAE=∠D=90°，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴AM=(1)/(2)AB，DN=(1)/(2)CD，
∴AM=DN，
∴四边形AMND是矩形，
∴∠BMN=90°，
由折叠的性质得：A′B=AB=2BM，
∴∠BA′M=30°，
∴∠A′BM=60°，
∴∠ABE=(1)/(2)∠A′BM=30°；

（2）∵∠ABE=30°，∠BAE=90°，
∴BE=2AE，∠AEB=60°，
∵EN⊥BE，
∴∠BEN=90°，
∴∠DEN=90°-∠AEB=30°，
∴EN=2DN=AB，
设AE=x，则EN=AB=√(3)x，BE=2x，
在RT△EBN中，EB²+EN²=BN²，即3x²+4x²=21，
解得：x=√(3)，
从而可得AB=3，AD=AE+ED=√(3)+(3√(3))/(2)=(5√(3))/(2)，
故矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+(5√(3))/(2)）=6+5√(3)．