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正方形ABCD中,将一个直角三角板的直角顶点与点A重合,一条直角边与边BC交于点E(点E不与点B和点C重合),另一条直角边与边CD的延长线交于点F.(1)如图①,求证:AE=AF;(2)如图②,

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正方形ABCD中,将一个直角三角板的直角顶点与点A重合,一条直角边与边BC交于点E(点E不与点B和点C重合),另一条直角边与边CD的延长线交于点F.
(1)如图①,求证:AE=AF;
(2)如图②,此直角三角板有一个角是45°,它的斜边MN与边CD交于点G,且点G是斜边MN的中点,连接EG,求证:EG=BE+DG.
(3)在(2)的条件下,如果
AB
GF
=
5
6
,那么点G是否一定是边CD的中点?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)正方形ABCD中,AB=AD,
∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°
∴∠ABC=∠ADF=90°,
∵∠EAF=90°,∴∠BAE=∠DAF,
在△ABE和△ADF中
∠B=∠ADF
AB=AD
∠BAE=∠DAF

∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴AE=AF;

(2)连接AG,
∵点G是斜边MN的中点,∴∠EAG=∠FAG=45°,
AG=AG,
在△AEG和△AFG中
AE=AF
∠EAG=∠FAG
AG=AG

∴△AEG≌△AFG(SAS),
∴EG=GF,
∴EG=DG+DF,
∵BE=DF,
∴EG=BE+DG;

(3)∵
AB
GF
=
5
6

∴设AB=5k,GF=6k,
设BE=x,则CE=6k-x,EG=5k,
CF=CD+DF=6k+x,
CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x,
∴Rt△ECG中,(6k-x)2+(k+x)2=(5k)2
∴2x2-10kx+12k2=0 即x2-5kx+6k2=0,
解得:x1=2k,x2=3k,
∴CG=3k或CG=4k,
两种情况都成立,
∴点G不一定是边CD的中点.
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