数学数论题,求所有的正整数对（x,y),满足3^x-7^y=2

Question

数学数论题,
求所有的正整数对（x,y),满足3^x-7^y=2

Answer 1

仅存在x=2,y=1
3的幂次的十位数与个位数依次排列得
03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,
47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,
03,09,27,81,…………………………（周期为20）
（计算方法为前一个数乘上3后求余,如其中43*3≡29mod100）
7的幂次的十位数与个位数依次排列得
07,49,43,01,07,49,………………（周期为4）
要使正整数对（x,y),满足3^x-7^y=2,则两者十位个位相差2
对照以上结果得①x=20n+1,y=4m ②x=20n+2,y=4m+1,（m,n为非负整数）
当m,n都大于0时
第1种,当n=k时,易知2k小于m小于3k（7的8次小于3的20次乘3小于7的12次,可以用对数证明）
所以不存在m,n
第2种,3的20n+2次-2=7的4m+1次,（9/7）*3的20n次-2=7的4m次,同①理
不存在m,n
当存在m,n为0时,验算得仅有x=2,y=1