问道数学数理数论题!设：n不等于1.证明：n的k次方再减一可以被（n－1）的平方整除的充要条件是：k被（n－1）整除!

Question

问道数学数理数论题!
设：n不等于1.证明：n的k次方再减一可以被（n－1）的平方整除的充要条件是：k被（n－1）整除!

Answer 1

n^k-1=(n^(k-1)+n^(k-2)……+1)(n-1) (a);
(n-1)^2|n^k-1等价于n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1;
若k被（n－1）整除,则n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k=[n^(k-1)-1]+[n^(k-2)-1]……+[1-1];仿造(a),可知每一[]中项均可被n-1整除,从而n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k可被n-1整除,进而n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1；
若n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1,同样有n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k=[n^(k-1)-1]+[n^(k-2)-1]……+[1-1];仿造(a),可知每一[]中项均可被n-1整除,从而n^(k-1)+n^(k-2)……+1-k可被n-1整除,由n-1|n^(k-1)+n^(k-2)……+1有n-1|k；证毕