设A,B为n阶矩阵,A可逆,B^2+BA+A^2=0,求证B和A+B是可逆矩阵,并求B,A+B的逆矩阵

Question

设A,B为n阶矩阵,A可逆,B^2+BA+A^2=0,求证B和A+B是可逆矩阵,并求B,A+B的逆矩阵

Answer 1

证：
（1）B²+BA+A²=0
B²+BA=-A²
B(B+A)=-A²
A可逆
|B|·|B+A| = |-A²|≠0
所以,B、A+B可逆
（2）B²+BA+A²=0
BA+A²=-B²
(B+A)A=-B²
B+A = -B²A^(-1)
(A+B)^(-1) = -AB^(-2)
B(B+A)=-A²
B=-A²(B+A)^(-1)
B^(-1) = -(A+B)A^(-2)
则,B、A+B的逆矩阵可进一步表示为
B^(-1) = B²A^(-1)·A^(-2)
B^(-1) = B²A^(-3)
(A+B)^(-1) = -AB^(-2)
(A+B)^(-1) = -AB²A^(-3)B²A^(-3)