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小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE
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小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究. (1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论; (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙0的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程; (3)如图3,PA.PB组成⊙0的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明. ![]() |
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图1,连接AD,BD, ∵C是劣弧AB的中点, ∴∠CDA=∠CDB, ∴△ADB为等腰三角形, ∵CD⊥AB, ∴AE=BE; (2)如图2,延长DB、AP相交于点F,再连接AD, ∵ADBP是圆内接四边形, ∴∠PBF=∠PAD, ∵C是劣弧AB的中点, ∴∠CDA=∠CDF, ∵CD⊥PA, ∴△AFD为等腰三角形, ∴∠F=∠A,AE=EF, ∴∠PBF=∠F, ∴PB=PF, ∴AE=PE+PB (3)AE=PE-PB. 连接AD,BD,AB,DB、AP相交于点F, ∵弧AC=弧BC, ∴∠ADC=∠BDC, ![]() ∵CD⊥AP, ∴∠DEA=∠DEF,∠ADE=∠FDE, ∵DE=DE, ∴△DAE≌△DFE, ∴AD=DF,AE=EF, ∴∠DAF=∠DFA, ∴∠DFA=∠PFB,∠PBD=∠DAP, ∴∠PFB=∠PBF, ∴PF=PB, ∴AE=PE-PB; ![]() |
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