（2014•烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tanβ2=13．

Question

（2014•烟台）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα•tan(β)/(2)=(1)/(3)．

Answer 1

证明：连接AC，则∠A=(1)/(2)∠POC=(β)/(2)，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tanα=(BD)/(BC)，BD∥AC，
∴∠PBD=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PBD∽△PAC，
∴(BD)/(AC)=(PB)/(PA)，
∵PB=0B=OA，
∴(PB)/(PA)=(1)/(3)，
∴tana•tan(β)/(2)=(BD)/(BC)•(BC)/(AC)=(BD)/(AC)=(1)/(3)．