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如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN,试判断△BMN的形状,并说明理由.
题目详情
如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABC和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN,试判断△BMN的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
△BMN为等边三角形.理由如下:
∵等边△ABD、等边△BCE,
∴∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE,
∴∠ABE=∠DBC,
∵AB=DB,BE=CB,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴∠CDB=∠BAE,
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD,
在△ABM和△DBN中
,
∴△ABM≌△DBN,
∴BM=BN,
∵∠DBE=60°,
∴△BMN是等边三角形.
∴BD∥CE,
同理可证AD∥BE,
即可得△BCN∽△ACD,△ABM∽△ACE,
∴
=
,
=
,
∵BC=CE,AD=AB,
∴BM=BN,
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°,
∴△BMN为等边三角形.
∵等边△ABD、等边△BCE,
∴∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE,
∴∠ABE=∠DBC,
∵AB=DB,BE=CB,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴∠CDB=∠BAE,
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD,
在△ABM和△DBN中
|
∴△ABM≌△DBN,
∴BM=BN,
∵∠DBE=60°,
∴△BMN是等边三角形.
∴BD∥CE,
同理可证AD∥BE,
即可得△BCN∽△ACD,△ABM∽△ACE,
∴
BM |
CE |
AB |
AC |
BN |
AD |
BC |
AC |
∵BC=CE,AD=AB,
∴BM=BN,
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°,
∴△BMN为等边三角形.
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