动点P到两定点A（a，0），B（-a，0）连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？

Question

动点P到两定点A（a，0），B（-a，0）连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？

Answer 1

由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零
所以 k PA • k PB =(y)/(x-a) •(y)/(x+a) =k ，
整理得，点P的轨迹方程为kx ² -y ² =ka ² （x≠±a）；
①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）
②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）
③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）
④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）
⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）