已知AB和CD是曲线（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，（Ⅰ）将曲线（t为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）试求直线AB的方程

Question

已知AB和CD是曲线 （t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|·|PB|=|PC|·
|PD|，
（Ⅰ）将曲线 （t为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线；
（Ⅱ）试求直线AB的方程。

Answer 1

（Ⅰ）由y=4t得y ² =16t ² ，而x=4t ² ，
∴y ² =4x，它表示抛物线；
（Ⅱ）设直线AB和CD的倾斜角分别为α，β，
则直线AB和CD的参数方程分别为 ，
把①代入y ² =4x中，
得t ² sin ² α+（4sinα-4cosα）t-4=0，③
依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16（sinα-cosα） ² +16sin ² α＞0，
∴方程③有两个不相等的实数解t ₁ ，t ₂ ，
则
由t的几何意义知|PA|=|t ₁ |，|PB|=|t ₂ |，
∴|PA|·|PB|=|t ₁ t ₂ |= ，
同理|PC|·|PD|= ，
由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知 ，即sin ² α=sin ² β，
∵0≤α，β＜π，
∴α=π-β，
∵AB⊥CD，
∴β=α+90°或α=β+90°，
∴直线AB的倾斜角
∴k _AB =1或k _AB =-1，
故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。