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已知z=cosθ+isinθ,求证Im(z^n+1/(z^n))=0n∈Z+
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已知 z = cosθ+ i sinθ,求证 Im(z^n + 1/(z^n))=0
n∈Z+
n∈Z+
▼优质解答
答案和解析
z = cosθ+ i sinθ,
所以
z^n=cosnθ+ i sinnθ,
1/z^n=z^(-n)=cos(-nθ)+ i sin(-nθ),
=cosnθ- i sinnθ
所以
z^n + 1/(z^n)
=cosnθ+ i sinnθ+cosnθ- i sinnθ
=2cosnθ+0i
从而
Im(z^n + 1/(z^n))=0
所以
z^n=cosnθ+ i sinnθ,
1/z^n=z^(-n)=cos(-nθ)+ i sin(-nθ),
=cosnθ- i sinnθ
所以
z^n + 1/(z^n)
=cosnθ+ i sinnθ+cosnθ- i sinnθ
=2cosnθ+0i
从而
Im(z^n + 1/(z^n))=0
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