等差数列,若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,则①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇/S偶=a(n)/a(n+1);②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a(n),S奇/S偶=n/n-1这个性质是怎么证出来的?

Question

等差数列,
若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,则
①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇/S偶 =a(n)/a(n+1);
②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a(n),S奇/S偶 =n/ n-1
这个性质是怎么证出来的?

Answer 1

都是利用的等差数列的通项公式和性质
a(n)=a1+(n-1)d
a(n)=a(m)+(n-m)d
若 m+n=s+t,则a(m)+a(n)=a(s)+s(t)
① 当项数为偶数2n时,
S偶-S奇
=(a2-a1)+(a4-a3)+.+[a(2n)-a(2n-1)]
=nd
S偶=(a2+a2n)*n/2
S奇=[a1+a(2n-1)]*n/2
∵ a2+a2n=2a(n+1),a1+a(2n-1)=2a(n)
∴ S奇/S偶 =a(n)/a(n+1)
②当项数为奇数2n-1时,
S奇数-S偶
=a1+(a3-a2)+(54-a4)+.+[a(2n-1)-a(2n-2)]
=a1+(n-1)d
=a(n)
S偶=[a2+a(2n-2)]*(n-1)/2
S奇=[a1+a(2n-1)]*n/2
∵ a2+a(2n-2)=a1+a(2n-1)
∴ S奇/S偶 =n/(n-1)