如图所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，CD（或它们的延长线）于点E，F．当∠EAF绕点A旋转到BE=DF时（如图（1）所示），易证BE+DF=EF．（1）当∠EAF绕

Question

如图所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，CD（或它们的延长线）于点E，F．当∠EAF绕点A旋转到BE=DF时（如图（1）所示），易证BE+DF=EF．
（1）当∠EAF绕点A旋转到BE≠DF时（如图（2）所示），线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以说明．
（2）当∠EAF绕点A旋转到如图（3）所示的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

（1）BE+DF=EF成立．
证明：如图（2），延长CD到M，使DM=BE，
∴∠MAF=90°-∠FAE=90°-45°=45°，
又∵∠FAE=45°，
∴在△AEF与△AMF中，

AE=AM

∠EAF=∠MAF

AF=AF

，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴MF=EF，
∵MF=DF+DM=BE+DF，
∴BE+DF=EF；

（2）DF-BE=EF．
如图（3）在线段DF上截取DN=BE，
在△ADN与△ABE中，
∵

AD=AB

∠ADN=∠ABE

DN=BE

，
∴△ADN≌△ABE（SAS），
∴∠DAN=∠BAE，AN=AE，
∴∠NAF=∠EAF．
在△AEF和△ANF中，

AN=AE

∠NAD=∠EAB

AF=AF

，
∴△AEF≌△ANF（SAS），
∴EF=NF，
∴DF-BE=EF．