保三角函数一个函数f（x）,图过对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f（x）的定义域内,就有f（a）,f（b）,f(c)也是某个三角形的边长,则称f（x）为“保三角形函数”.（1）判断f1（x）=根

Question

保三角函数
一个函数f（x）,图过对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f（x）的定义域内,就有f（a）,f（b）,f(c)也是某个三角形的边长,则称f（x）为“保三角形函数”.
（1）判断f1（x）=根号x,f2（x）=x,f3（x）=x的平方,哪些是“保三角形函数”,哪些不是,并说明理由.
（2）如果g（x）是定义在R上的周期函数,且值域为（0,+∞）,证明g（x）不是“保三角形函数”.
（3）若函数F(x）=sinx,x∈(0,A）是“保三角形函数”,求A的最大值（可以利用公式sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

Answer 1

（1） 三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
f1（x）=根号x 若a+b>c
只需证明根号a+根号b>根号c,
又根号（a+b）>根号c
根号a+根号b>根号（a+b）
故 根号a+根号b>根号c
f2（x）=x,若a+b>c 则a+b>c 同理可证两边之差小于第三边
f3（x）=x的平方,举反例a=3,b=4,c=5可以构成三角形而9,16,25则
不能够成一个三角形
所以f1（x）=根号x,f2（x）=x,是“保三角形函数”,f3（x）=x
的平方不是“保三角形函数”.
（2）周期函数一定不是单调函数,不是单调函数一定不是“保三角形函数”.