初中数学二次函数和圆结合综合题

Question

初中数学二次函数和圆结合综合题

Answer 1

不知是否符合要求.如果还需要,我可以继续完善我的答案
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（2012湖北荆州12分）如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ,A（3,0）,D（﹣1,0）,E（0,3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围．
【答案】（1）∵抛物线经过点A（3,0）,D（﹣1,0）,∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）.
将E（0,3）代入上式,解得：a=﹣1.
∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1）,即y=﹣x2+2x+3.
又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4,∴点B（1,4）.
（2）证明：如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M（0,4）．
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°, .
在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°, .
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.[来源:Z*xx*k.Com]
∴AB是△ABE外接圆的直径.
在Rt△ABE中, ,∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圆的切线.
（3）存在.点P的坐标为（0,0）或（9,0）或（0,﹣ ）.
（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3,0）,B（1,4）代入,得 ,解得 .
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6.
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x= ,∴F（ ,3）.
情况一：如图2,当0＜t≤ 时,设△AOE平移到△DNM的位置,MD交AB于点H,MN交AE于点G.
则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L．
由△AHD∽△FHM,得 ,即 ,解得HK=2t.
∴
= ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t•2t=﹣ t2+3t.
情况二：如图3,当 ＜t≤3时,设△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于点I,交AE于点V.
由△IQA∽△IPF,得 ．即 ,
解得IQ=2（3﹣t）.
∴
= ×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣ （3﹣t）2= （3﹣t）2= t2﹣3t+ .
综上所述： .
2012南充22.如图,⊙C的内接⊿AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB= ,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)与点（-2,6）（1）求抛物线的函数解析式．
（2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D,动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当⊿ROB面积最大时,求点R的坐标.

　　（1）把点A(4,0)与点（-2,6）代入抛物线y=ax2+bx,得：
16a+4b=0 a=
4a-2b=6 解得： b= -2
∴抛物线的函数解析式为：y=x2-2x
（2）连AC交OB于E
∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m,∵ 弦 AB=AO ∴ AB(⌒)=AO(⌒)
∴AC⊥OB ∴m∥OB ∴∠ OAD=∠AOB
∵OA=4 tan∠AOB=∴OD=OA·tan∠OAD=4=3
作OF⊥AD于F OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD 则FQ=OP= t
DF=DQ-FQ= t ⊿ODF中,t=DF===1.8（秒）
（3）令R(x,x2-2x) (0＜x＜4) 作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I
（2012泰安）如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为（1,0）．若抛物线 过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点,△MAB的面积为S,求S的最大（小）值．
考点：二次函数综合题.
（1）如答图1,连接OB．
∵BC=2,OC=1∴OB= ∴B（0, ）
将A（3,0）,B（0, ）代入二次函数的表达式
得 ,解得： ,∴ ．
（2）存在．
如答图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点P．
∵B（0, ）,O（0,0）,∴直线l的表达式为 ．代入抛物线的表达式,
得 ；解得 ,∴P（ ）．
（3）如答图3,作MH⊥x轴于点H．
设M（ ）,
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB= （MH+OB）•OH+ HA•MH﹣ OA•OB
= =
∵ ,
∴
=
∴当 时, 取得最大值,最大值为 ．
26．如图半径分别为m,n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P（4,1）,两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H．
（1）求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1,O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2．
试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为 的抛物线?若存在,请求出此抛物线的解析式；若不存在,请说明理由．


（1）由题意可知O1（m,m）,O2（n,n）,
设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有： （0＜m＜n）,解得 ,
∴所求直线的解析式为：y=x．（2）由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称．
∵P（4,1）,直线O1O2解析式为y=x,∴Q（1,4）．
如解答图1,连接O1Q．
∵Q（1,4）,O1（m,m）,根据两点间距离公式得到：
O1Q= =
又O1Q为小圆半径,即QO1=m,
∴ =m,化简得：m2﹣10m+17=0 ①
如解答图1,连接O2Q,同理可得：n2﹣10n+17=0 ②
由①,②式可知,m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根,
解③得：x=5± ,∵0＜m＜n,∴m=5﹣ ,n=5+ ．
∵O1（m,m）,O2（n,n）,
∴d=O1O2= =8．
（3）假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a＜0．
如解答图2,连接PQ．
由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2．
∵P（4,1）,Q（1,4）,∴PQ= = ,又O1O2=8,
∴S1= PQ•O1O2= × ×8= ；
又S2= （O2R+O1M）•MR= （n+m）（n﹣m）= ；
∴ = =1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4,1）,Q（1,4）,∴ ,解得 ,
∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a,
令y=0,则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0,
设两根为x1,x2,则有：x1+x2= ,x1x2= ,
∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1﹣x2|=1,∴（x1﹣x2）2=1,∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1,
即（ ）2﹣4（ ）=1,化简得：8a2﹣10a+1=0,
解得a= ,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾,
∴不存在这样的抛物线．