一道综合数学题平面直角坐标系中，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x²+bx+c经过点C，且与直线AC只有一个交点。(1)求抛物线y=x²+bx+c的解析式(2)点P为(1)中抛物线上的

Question

一道综合数学题平面直角坐标系中，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x²+bx+c经过点C，且与直线AC只有一个交点。 (1)求抛物线y=x²+bx+c的解析式 (2)点P为(1)中抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，问：此抛物线上是否存在P，使△PQB∽△ABD，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

1.(1)因为圆O的半径r=1 所以A点坐标是(－1，0)，C点坐标是(0，－1) 所以可求出直线AC的解析式为y＝－x－1， 因为抛物线y＝x²＋bx＋c过点C(0，－1) 所以c＝－1 因为直线AC与抛物线只有一个交点 所以方程组y＝－x－1，y＝x²＋bx－1有唯一实数解 消去y得：x²＋(b＋1)x＝0 所以△＝(b＋1)^2－4×1×0＝0 所以b＝－1 所以抛物线解析式为y＝x²－x－1 (2) 存在点P 显然△ABD为等腰直角三角形 所以△PQB也是等腰直角三角形 所以QP＝QB 点P的抛物线y＝x²－x－1上 设P点坐标为(m，m²－m－1) 所以PQ＝|m²－m－1| BQ＝|1－m| 点P的抛物线y＝x²－x－1上 所以|m²－m－1|＝|1－m| 若m²－m－1＝1－m 得：m＝±√2 此时P点坐标是(√2，1－√2)和(－√2，√2＋1) 若m²－m－1＝m－1 得m＝0或m＝2 当m＝0时，P点坐标是(0，－1) 当m＝2时，P点坐标是(2，1) 综上所述，存在四个满足条件的点P P1(√2，1－√2)，P2(－√2，√2＋1)，P3(0，－1)，P4(2，1) 2.因为∠AOB＝90° 所以AB是直径 (1)因为BC＝CO＝OA，AB是直径 所以弧BC＝弧CO＝弧OA且三弧的度数均为60° 所以∠ABO＝∠OAD＝30° 因为△AOB是含30°角的直角三角形，且OA＝1 所以OB＝√3OA＝√3 所以点B坐标是(0，√3) 同样△AOD也是含30°角的直角三角形，且OA＝1 所以OD＝OA/√3＝√3/3 所以D点坐标是(0，√3/3) (2)由(1)知∠CAB＝30° 所以∠EAB＝∠CAB＝30° 所以∠EAO＝90° 因为AB是直径 所以∠ACB＝90° 所以∠E＝∠ACB＝90° 又因为∠AOB＝90° 所以四边形AOBE是矩形 (3)因为四边形AOBE是矩形 所以EA⊥X轴，EB⊥Y轴，EA＝OB＝√3，EB＝OA＝1 所以点E坐标是(1，√3) 因为点D是抛物线的顶点 设抛物线的解析式是：y＝ax²＋√3/3 因为点E(1，√3)在抛物线上 所以代入，得：a＝2√3/3 所以抛物线的解析式为y＝2√3x²/3＋√3/3 (4)过C作CM⊥y轴 则OM＝BM＝OB/2＝√3/2 因为△BCM是含30°角的直角三角形 所以CM＝BM/√3＝1/2 所以点C的坐标是(－1/2，√3/2) 在y＝2√3x²/3＋√3/3中 因为当x＝－1/2时，y＝√3/2 所以C点在抛物线y＝2√3x²/3＋√3/3上