小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH．”为了解决这个问题，经过思考，大

Question

小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为(√(5))/(2)（如图（3）），试求EG的长度．

Answer 1

（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM=HF，AN=BC，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM=AN，即EC=FH


（2）结论：EG：FH=3：2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∴AM=HF，AN=EC，在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
(AM)/(AN)＝(AB)/(AD)，
∵AB=2，BC=AD=3，
∴(EC)/(FH)＝(3)/(2)．

（3）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵AB＝1，AM＝FH＝(√(5))/(2)．
∴在Rt△ABM中，BM=(1)/(2)．
将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，
从而△APM≌△ANM，
∴PM=NM．
设DN=x，则NC=1-x，MN=PM=(1)/(2)+x．
在Rt△CMN中，((1)/(2)+x)2＝(1)/(4)+(1−x)2解得x＝(1)/(3)．
∴EG＝AN＝√(1+x2)＝(√(10))/(3)．