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正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,N分别为BD,AB1,AB上的点,且BE:BD=1:3,AF:AB1=1:3,AN:AB=1:3.求证BD⊥EF
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正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,N分别为BD,AB1,AB上的点,且BE:BD=1:3,AF:AB1=1:3,AN:AB=1:3.
求证BD⊥EF
求证BD⊥EF
▼优质解答
答案和解析
证明:连结FN,NE,连结AC.BD,交点为P
则在△ABB'中,由AN:AB=AF:AB'=1:3可得:FN⊥BB'
因为BB'⊥平面ABCD,所以FN⊥平面ABCD
又直线BD在平面ABCD内,则FN⊥BD (1)
因为在正方形ABCD中,BE:BD=1:3,BP=BD/2
所以BE:BP=2:3
而由AN:AB=1:3可得:BN:AB=2:3
则在△ABP中,有BE:BP=BN:AB
所以NE//AC
因为AC⊥BD,所以NE⊥BD (2)
则由(1)(2)两个条件可知:
直线BD垂直于平面EFN内的两条相交直线FN与NE
所以BD⊥平面EFN
则BD⊥EF
则在△ABB'中,由AN:AB=AF:AB'=1:3可得:FN⊥BB'
因为BB'⊥平面ABCD,所以FN⊥平面ABCD
又直线BD在平面ABCD内,则FN⊥BD (1)
因为在正方形ABCD中,BE:BD=1:3,BP=BD/2
所以BE:BP=2:3
而由AN:AB=1:3可得:BN:AB=2:3
则在△ABP中,有BE:BP=BN:AB
所以NE//AC
因为AC⊥BD,所以NE⊥BD (2)
则由(1)(2)两个条件可知:
直线BD垂直于平面EFN内的两条相交直线FN与NE
所以BD⊥平面EFN
则BD⊥EF
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