如图，三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2，A1B=6，A1B⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C1⊥B1C；（Ⅱ）求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2，A₁B=√(6)，A₁B⊥AC．

（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥B₁C；
（Ⅱ）求直线AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结A₁O，BO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2，∴BO⊥AC，
∵A₁B⊥AC，A₁B∩BO=B，A₁B⊂面A₁BO，BO⊂面A₁BO，
∴AC⊥面A₁BO，
连结AB₁，交A₁B于点M，连结OM，则B₁C∥OM，
又∵OM⊂面A₁BO，∴AC⊥OM，
∵A₁C₁∥AC，A₁C₁⊥B₁C．
（Ⅱ）∵A₁B⊥AB₁，A₁B⊥AC，∴A₁B⊥面AB₁C，
∴面AB₁C⊥面ABB₁A₁，
∵面AB₁C∩面ABB₁A₁=AB₁，∴AC在平面ABB₁A₁的射影为AB₁，
∴∠B₁AC为直线AC和平面ABB₁A₁所成的角，
∵AB₁=2AM=2√(AB2-BM2)=√(10)，
∴在 Rt△ACB₁中，cos∠B1AC=(AC)/(AB1)=(2)/(√(10))=(√(10))/(5)，
∴直线AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值为(√(10))/(5)．