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如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,A1B=6,A1B⊥AC.(Ⅰ)求证:A1C1⊥B1C;(Ⅱ)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值.
题目详情
如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,A1B=
,A1B⊥AC.
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(Ⅰ)求证:A1C1⊥B1C;
(Ⅱ)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值.
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(Ⅰ)求证:A1C1⊥B1C;
(Ⅱ)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)取AC中点O,连结A1O,BO,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/23/1534985843-5183.jpg)
∵三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,∴BO⊥AC,
∵A1B⊥AC,A1B∩BO=B,A1B⊂面A1BO,BO⊂面A1BO,
∴AC⊥面A1BO,
连结AB1,交A1B于点M,连结OM,则B1C∥OM,
又∵OM⊂面A1BO,∴AC⊥OM,
∵A1C1∥AC,A1C1⊥B1C.
(Ⅱ)∵A1B⊥AB1,A1B⊥AC,∴A1B⊥面AB1C,
∴面AB1C⊥面ABB1A1,
∵面AB1C∩面ABB1A1=AB1,∴AC在平面ABB1A1的射影为AB1,
∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角,
∵AB1=2AM=2
=
,
∴在 Rt△ACB1中,cos∠B1AC=
=
=
,
∴直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为
.
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∵三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,∴BO⊥AC,
∵A1B⊥AC,A1B∩BO=B,A1B⊂面A1BO,BO⊂面A1BO,
∴AC⊥面A1BO,
连结AB1,交A1B于点M,连结OM,则B1C∥OM,
又∵OM⊂面A1BO,∴AC⊥OM,
∵A1C1∥AC,A1C1⊥B1C.
(Ⅱ)∵A1B⊥AB1,A1B⊥AC,∴A1B⊥面AB1C,
∴面AB1C⊥面ABB1A1,
∵面AB1C∩面ABB1A1=AB1,∴AC在平面ABB1A1的射影为AB1,
∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角,
∵AB1=2AM=2
AB2-BM2 |
10 |
∴在 Rt△ACB1中,cos∠B1AC=
AC |
AB1 |
2 | ||
|
| ||
5 |
∴直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为
| ||
5 |
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