如图,在三棱椎D-ABC中,AB=AD=BC=CD=BD=2.1.求证：AC垂直BD.2.已知异面直线AD与AC所成的角为三分之派,求二面角D-AB-C的平面角的余弦大小

Question

如图,在三棱椎D-ABC中,AB=AD=BC=CD=BD=2.1.求证：AC垂直BD.2.已知异面直线AD与AC所成的角为三分之派,求二面角D-AB-C的平面角的余弦大小

Answer 1

(1)
找BD的中点E,连接CD,AE
∵E为BD中点 CD=BC
∴CE⊥BD
同理AE⊥BD
∵CE,AE∈平面ACE
∴BD⊥平面ACE
∵AC∈平面ACE
∴BD⊥AC
(2)
在AB找中点F,连接DF,CF
∵AD与AC所成的角为三分之派 （注意这里不是异面直线,因为它们有公共的交点A）
且AD=CD
∴△ACD为等边三角形
∵AB=AD=BC=CD=BD
∴三棱椎为正三棱椎
∵F为AB中点 DB=DA
∴DF⊥AB
同理CD⊥AB
∴二面角D-AB-C的平面角就是∠DFC
BC=2 BF=1
CF=√(BC^2-BF^2)=√3
同理DF=√3
DC=2
cos∠DFC=(CF^2+DF^2-CD^2)/2CF*DF
=(3+3-4)/2√3*√3
=1/3