如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．

Question

如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中点是P，过点A₁作出与截面PBC₁平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．

Answer 1

取AB、C₁D₁的中点M、N，连结A₁M、MC、CN、NA₁．
由于A₁N∥PC₁∥MC且A₁N=PC₁=MC，
∴四边形A₁MCN是平行四边形．
又∵A₁N∥PC₁，A₁M∥BP，A₁N∩A₁M=A₁，
PC₁∩BP=P，
∴平面A₁MCN∥平面PBC₁
因此，过A₁点作与截面PBC₁平行的截面是平行四边形．
又连结MN，作A₁H⊥MN于H，由于A₁M=A₁N=√(5)，MN=2√(2)，
则AH=√(3)．
∴S△A1MN＝(1)/(2)×2√(2)×√(3)＝√(6)
故 S平行四边形A1MCN＝2S△A1MN=2√(6)（cm²）．