三棱锥立体几何三棱锥P-ABC中,顶点P在平面的射影为O,向量OA+OB+OC=0,A在侧面PBC上的射影H是三角形的垂心,PA=6,求三棱锥体积最大值没人会吗

Question

三棱锥 立体几何
三棱锥P-ABC中,顶点P在平面的射影为O,向量OA+OB+OC=0,A在侧面PBC上的射影H是三角形的垂心,PA=6,求三棱锥体积最大值
没人会吗

Answer 1

∵向量OA+向量OB+向量OC=0向量
∴O为⊿ABC的重心
又∵A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心
∴PH⊥BC
又∵PA在侧面PBC上的射影为PH
∴PA⊥BC
又∵PA在面ABC上的射影为PO
∴AO⊥BC.
同理可得CO⊥AB
∴O是△ABC的垂心.
由于⊿ABC的重心与垂心重合,所以⊿ABC为等比三角形,即三棱锥P-ABC为正三棱锥.
设AB=x,则AO=x3,
∴PO=36―x23
∴V= 13×34x2×36―x3=112108x4―x6,
令f(x)=108x4―x6,则fノ(x)=6x3(72―x2)
∴当x∈(0,62)时f(x)递增；当x∈(62,63)时f(x)递减,故x=62时f(x)取得最大值36
楼主
十二分诚恳的劝你一句
自己算吧
现在你能上网找 考试的时候呢
自己想
实在想不出来就直接告诉老师
这是一种勇气,你做到了 相信父母都以你为荣,任何人都不敢看扁你