椭圆上的点到焦点的距离的性质除了“椭圆上任何一点到两焦点距离之和相加为一个定值（2a）”这个性质的其他性质。

Question

椭圆上的点到焦点的距离的性质
除了“椭圆上任何一点到两焦点距离之和相加为一个定值（2a）”这个性质的其他性质。

Answer 1

椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a
椭圆公式：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)
两焦点（ -a ,0 ) ( a ,0 )
设（x,y)是椭圆上的点,有：
根号[（x+a)^2 + y^2] + 根号[ (x-a)^2 + y^2 ] = 椭圆上的点到两焦点的距离之和,定义是2a,我们直接代入验证即可
平方有：
（x+a)^2 + y^2 + (x-a)^2 + y^2 +
2根号[（x^2 - a^2 )^2 + y^4 + y^2 ×【（x+a)^2 +(x-a)^2】]
= 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 +
2根号[（x^2 - a^2 )^2 + y^4 + y^2 ×【2x^2 + 2a^2】] = 4a^2
移项有：
2x^2 + 2y^2 - 2a^2 =
2根号[（x^2 - a^2 )^2 + y^4 + y^2 ×【2x^2 + 2a^2】]
两边平方：
4x^4 + 4y^4 + 4a^4 + 8x^2×y^2 - 8x^2×a^2 - 8y^2×a^2=
4x^4 - 8a^2×x^2 + 4a^4 + 4y^4 + 8y^2×x^2 + 8y^2×a^2
显然上式成立,所以距离之和为2a
另：椭圆是一种圆锥曲线,现在高中教材上有两种定义：
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点,焦点之间的距离叫做焦距）；
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上,该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线）.这两个定义是等价的
根据定义2,椭圆上一点到焦点的距离是到对应准线的距离的e（离心率=c/a）倍