如图，设F（-c，0）是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-a2c与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的

Question

如图，设F（-c，0）是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-(a2)/(c)与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B．
①证明：∠AFM=∠BFN；
②求△ABF面积的最大值．

Answer 1

（1）∵F（-c，0）是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，
直线l：x=-(a2)/(c)与x轴交于P点，
MN为椭圆的长轴，|MN|=8，∴a=4，…（1分）
又∵|PM|=2|MF|，∴e=(1)/(2)，…（2分）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴椭圆的标准方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1…（3分）
（2）①证明：当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFN=0，满足题意；…（4分）
当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0．…（5分）
△=576（m²-4），y_A+y_B=(48m)/(3m2+4)，y_Ay_B=(144)/(3m2+4)．
则kAF+kBF＝(yA)/(xA+2)+(yB)/(xB+2)＝(yA)/(myA−6)+(yB)/(myB−6)
=(yA(myB−6)+yB(myA−6))/((myA−6)(myB−6))＝(2myAyB−6(yA+yB))/((myA−6)(myB−6))，
而2my_Ay_B-6（y_A+y_B）
=2m•(144)/(3m2+4)-6•(48m)/(3m2+4)=0，…（7分）
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．…（8分）
②解法一：S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF
=(1)/(2)|PF|•|yB−yA|＝(72√(m2−4))/(3m2+4)，…（10分）
即S_△ABF=(72√(m2−4))/(3(m2−4)+16)＝(72)/(3√(m2−4)+(16)/(√(m2−4)))
≤(72)/(2√(3•16))＝3√(3)，…（12分）
当且仅当3√(m2−4)＝(16)/(√(m2−4))，
即m=±(2√(21))/(3)时（此时适合于△＞0的条件）取到等号．
∴△ABF面积的最大值是3√(3)．…（13分）
②解法二：|AB|＝√(1+m2)|y1−y2|＝√(1+m2)√((y1+y2)2−4y1y2)＝(24√(1+m2)•√(m2−4))/(3m2+4)，
点F到直线AB的距离d＝(|2−8|)/(√(1+m2))＝(6)/(√(1+m2))…（10分）S＝(1)/(2)|AB|•d＝(1)/(2)×(24√(1+m2)√(m2−4))/(3m2+4)×(6)/(√(1+m2))＝(72√(m2−4))/(3m2+4)
=(72)/(3√(m2−4)+(16)/(√(m2−4)))≤(72)/(2×√(3×16))＝3√(3)，…（12分）
当且仅当3√(m2−4)＝(16)/(√(m2−4))，
即m=±(2)/(3)√(21)时取等号．
∴△ABF面积的最大值是3√(3)．…（13分）