椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[12，1）B．（22，1）C．[12，63）D．（0，22）

Question

椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（　　）

A．[(1)/(2)，1）
B．（(√(2))/(2)，1）
C．[(1)/(2)，(√(6))/(3)）
D．（0，(√(2))/(2)）

Answer 1

可设椭圆的标准方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）．
设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．
该圆为：(x−(a)/(2))2+y2＝((a)/(2))2，化为x²-ax+y²=0．
联立

x2−ax+y2＝0

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

化为（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，
则ax＝(−a2b2)/(b2−a2)，解得x＝(ab2)/(c2)，
∵0＜x＜a，∴0＜(ab2)/(c2)＜a，
化为c²＞b²=a²-c²，
∴e2＞(1)/(2)，又1＞e＞0．
解得(√(2))/(2)＜e＜1．
∴该椭圆的离心率e的范围是((√(2))/(2)，1)．
故选：C．