已知椭圆：x^2/3+y^2=1,过坐标原点o做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A、B两点.求三角形ABC面积的最大值,

Question

已知椭圆：x^2/3+y^2=1,过坐标原点o做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A、B两点.
求三角形ABC面积的最大值,

Answer 1

是三角形AOB面积最大值吗?
椭圆的参数方程为:
x=√3cost,
y=sint,
设A点时,x1=√3cost1,y1=sint1,
B点时,x2=√3cos(t1+π/2)=-√3sint1,
y2=sin(t1+π/2)=cost1,
|OA|=√[sint1)^2+3(cost1)^2],
|OB|=√[3(sint1)^2+(cost1)^2],
S△OAB=(1/2)√[sint1)^2+3(cost1)^2]*√[3(sint1)^2+(cost1)^2]
=(1/2)√[3(sint1)^4+3(cost1)^4+10(sint1)^2(cost1)^2]
=(1/2)√{3[(sint)^2+(cost1)^2]^2-2(sint1)^2(cost1)^2]+10(sint1)^2(cost1)^2}
=(1/2)√[(sin2t1)^2+3],
对于(sin2t1)^2,2t1=π/2,或2t1=3π/2时,绝对值最大,为1,或-1,
即t1=π/4,或t1=3π/4时,取最大值,
∴S(max)=(1/2)√(1+3)=1.
∴三角形OAB面积的最大值是1.