已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F

Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（Ⅰ）又由点M在准线上，得(a2)/(c)=2故(1+c2)/(c)=2，∴c=1，从而a=√(2)
所以椭圆方程为(x2)/(2)+y²=1；
（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0
即（x-1）²+(y−(t)/(2))2=(t2)/(4)+1，
其圆心为（1，(t)/(2)），半径r=√((t2)/(4)+1)
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=√(r2−1)=(t)/(2)所以(|3−2t−5|)/(5)=(t)/(2)，解得t=4
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5
（Ⅲ）设N（x₀，y₀），则

FN

=（x₀-1，y₀），

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