定义：离心率e=5-12的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一

Question

定义：离心率 e=(5-1)/(2) 的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆 E：(x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1(a＞b＞0) 的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-2

PF

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使

SP

2 取最大值时点P的坐标．

Answer 1

（1）假设E为黄金椭圆，则 e=(c)/(a) =(5-1)/(2) ，即 c=(5-1)/(2) a …（1分）
∴b ² =a ² -c ²
= a 2 - ((5-1)/(2) a) 2
= (5-1)/(2) a 2
=ac．…（3分）
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，
故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）
（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），
令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），
∵

RP

=-2

PF

，点F（c，0），
∴点P的坐标为（2c，kc）…（6分）
∴点P在椭圆上，
∴ (4 c2)/(a2) +(k2 c2)/(b2) =1 ．
∵b ² =ac，∴4e ² +k ² e=1，
故 k 2 =(1-4 e2)/(e) ＜0 ，与k ² ≥0矛盾．
所以，满足题意的直线不存在．…（9分）
（3）依题有b ² =1，由点P（x ₁ ，y ₁ ）在E上知x ₁ ² =a ² （1-y ₁ ² ），
∴

SP 

  2 = |

SP

| 2 =x ₁ ² +（y ₁ -2） ²
=（1-a ² ）y ₁ ² -4y ₁ +（a ² +4）
=（1-a ² ） ( y 1 -(2)/(1- a2) ) 2 +( a 2 +4)-(4)/(1- a2) ．
∵a＞1，
∴1-a ² ＜0，又-1≤y ₁ ≤1，…（11分）
①当 1＜a≤

3

时， (2)/(1- a2) ≤-1 ，
∴SP ² 是y ₁ ∈[-1，1]的减函数，
故y ₁ =-1时，SP ² 取得最大值，此时点P的坐标是（0，-1）．
②当 a＞

3

时， -1＜(2)/(1- a2) ＜1 ，
∴ y 1 =(2)/(1- a2) 时，

SP

  2 取得最大值，
此时点P的坐标是 (±(a)/(a2 -1)

a 4 -2 a 2 -3

，(2)/(1- a2) ) …（14分）