（2007•重庆）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：1|FP1|+1|FP

Question

（2007•重庆）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P₁，P₂，P₃，使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，证明：(1)/(|FP1|)+(1)/(|FP2|)+(1)/(|FP3|)为定值，并求此定值．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1
因焦点为F（3，0），故半焦距c=3
又右准线l的方程为x＝(a2)/(c)，从而由已知(a2)/(c)＝12，a2＝36，
因此a=6，b＝√(a2−c2)＝√(27)＝3√(3)
故所求椭圆方程为(x2)/(36)+(y2)/(27)＝1
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假设0≤α1＜(2π)/(3)，且α2＝α1+(2π)/(3)，α3＝α1+(4π)/(3)
又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，从而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=((a2)/(c)−c−|FPi|cosαi)e=(1)/(2)(9−|FPi|cosαi)（i=1，2，3）
解得(1)/(|FPi|)=(2)/(9)(1+(1)/(2)cosαi)（i=1，2，3）
因此(1)/(|FP1|)+(1)/(|FP2|)+(1)/(|FP3|)=(2)/(9)[3+(1)/(2)(cosα1+cos(α1+(2π)/(3))+cos(α1+(4π)/(3)))]，
而cosα1+cos(α1+(2π)/(3))+cos(α1+(4π)/(3))=cosα1−(1)/(2)cosα1−(√(3))/(2)sinα1−(1)/(2)cosα1+(√(3))/(2)sinα1＝0，
故(1)/(|FP1|)+(1)/(|FP2|)+(1)/(|FP3|)＝(2)/(3)为定值．