如图，F1、F2是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且＝，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，·＝0.(1)求椭圆的离心率；(2)若△ABF1的周长为，求椭圆

Question

如图，F ₁ 、F ₂ 是椭圆 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且 ＝ ，过点F ₂ 的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴， · ＝0.

(1)求椭圆的离心率；
(2)若△ABF ₁ 的周长为 ，求椭圆的方程．

Answer 1

（1） （2） ＝1.

(1)设F ₁ (－c，0)，F ₂ (c，0)，A(x ₀ ，y ₀ )，椭圆的离心率为e，则M ，x ₀ ＝ c.
∵ ＝e，∴|AF ₁ |＝a＋ex ₀ .同理，|AF ₂ |＝a－ex ₀ .
∵ · ＝0，∴AF ₁ ⊥AF ₂ ，∴|AF ₁ | ² ＋|AF ₂ | ² ＝|F ₁ F ₂ | ² ，
∴(a＋ex ₀ ) ² ＋(a－ex ₀ ) ² ＝4c ^2, 即a ² ＋e ² ＝2c ² .
∵x ₀ ＝ c，∴a ² ＋e ² · c ² ＝2c ^2, ∴1＋ e ⁴ ＝2e ² ，即3e ⁴ －8e ² ＋4＝0，
∴e ² ＝ 或2(舍)，∴椭圆的离心率e＝ .
(2)∵△ABF ₂ 的周长为4 ，∴4a＝4 ，∴a＝ .又 ＝ ，∴c＝2,∴b ² ＝2.
∴椭圆方程为 ＝1.