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如图，椭圆C：x2a2+y2b2＝1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，，|A1B1|=7，S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点
题目详情
如图，椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 7 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且|
| OP |
| AP |
| PB |
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）由|A1B1|＝
知a2+b2=7，①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b2=a2-c2 ③
由 ①②③解得a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为
+
＝1．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足
•
＝1，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|
|＝1得
＝1，即m2=k2+1 ④
∵
•
＝1，|
| 7 |
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b2=a2-c2 ③
由 ①②③解得a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足
| AP |
| PB |
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且|
| OP |
| |m| | ||
|
∵
| AP |
| PB |
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