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如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,|A1B1|=7,S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点
题目详情
如图,椭圆C:
+
=1的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,|A1B1|=
,S▱A1B1A2B2=2S▱B1F1B2F2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,且|
|=1,是否存在上述直线l使
•
=1成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
7 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,且|
OP |
AP |
PB |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由|A1B1|=
知a2+b2=7,①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c,②
又b2=a2-c2 ③
由 ①②③解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为
+
=1.
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
若l垂直于x轴时,p点即是右焦点(1,0),此时不满足
•
=1,直线l的方程不存在.
若l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且|
|=1得
=1,即m2=k2+1 ④
∵
•
=1,|
7 |
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c,②
又b2=a2-c2 ③
由 ①②③解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
若l垂直于x轴时,p点即是右焦点(1,0),此时不满足
AP |
PB |
若l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且|
OP |
|m| | ||
|
∵
AP |
PB |
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