在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为 .若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果 ＝t ，求实数t的值．

Answer 1

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为 .若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果 ＝t ，求实数t的值．

（1） ＋y ² ＝1
（2）t＝2或t＝

(1)设椭圆C的方程为： (a＞b＞0)，
则 ，解得a＝ ，b＝1，
故椭圆C的方程为 ＋y ² ＝1.
(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－ ＜x＜ ，且m≠0)．
将x＝m代入椭圆方程得|y|＝ ，
所以S _{△ AOB} ＝|m| ＝ .
解得m ² ＝ 或m ² ＝ .①
又 ＝t ＝ t( ＋ )＝ t(2m,0)＝(mt,0)，
又点P在椭圆上，所以 ＝1.②
由①②得t ² ＝4或t ² ＝ .
又因为t＞0，所以t＝2或t＝ .