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已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。求证：无论点怎样变化，
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| 已知椭圆  和椭圆 的离心率相同，且点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）设  为椭圆 上一点，过点 作直线交椭圆 于 、 两点，且 恰为弦 的中点。求证：无论点 怎样变化， 的面积为常数，并求出此常数. |
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答案和解析
| 已知椭圆  和椭圆 的离心率相同，且点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）设  为椭圆 上一点，过点 作直线交椭圆 于 、 两点，且 恰为弦 的中点。求证：无论点 怎样变化， 的面积为常数，并求出此常数. |
| （1）椭圆  的方程为 ；（2） 的面积为常数 ． |
| 试题分析：（1）由题知，  且 ， 解这个方程组求得 即可得椭圆 的方程；（2）涉及直线与曲线的关系的问题，多是将直线方程与曲线方程联立再用韦达定理解决.此题中有两个椭圆，将哪个椭圆的方程与直线方程联立？此题意即直线与 的交点的中点在 上，故应将直线方程与 的方程联立由韦达定理得中点坐标，再将中点坐标代入 的方程.然后求出三角形OAB的面积的表达式，再利用前面所得关系式化为一常数即可. 试题解析：（1）由题知， 且 即 ， 椭圆 的方程为 ； 4分（2）当直线  的斜率不存在时，必有 ，此时 ， 5分当直线 的斜率存在时，设其斜率为 、点 ，则 与椭圆  联立，得 ，设 ，则  即 8分又   9分  
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