（2014•重庆）如图，设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，丨F1F2丨丨DF1丨=22，△DF1F2的面积为22．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的

Question

（2014•重庆）如图，设椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上．DF₁⊥F₁F₂，(丨F1F2丨)/(丨DF1丨)=2√(2)，△DF₁F₂的面积为(√(2))/(2)．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

Answer 1

（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-b²，
由(丨F1F2丨)/(丨DF1丨)=2√(2)，得|DF₁|=(|F1F2|)/(2√(2))=(√(2))/(2)c，
从而S△DF1F2=(1)/(2)|DF₁||F₁F₂|=(√(2))/(2)c²=(√(2))/(2)，故c=1．
从而|DF₁|=(√(2))/(2)，由DF₁⊥F₁F₂，得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=(9)/(2)，
因此|DF₂|=(3√(2))/(2)，
所以2a=|DF₁|+|DF₂|=2√(2)，故a=√(2)，b²=a²-c²=1，
因此，所求椭圆的标准方程为(x2)/(2)+y²=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆(x2)/(2)+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，

y₁＞0，y₂＞0，F₁P₁，F₂P₂是圆C的切线，且F₁P₁⊥F₂P₂，由圆和椭圆的对称性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，
由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0），所以

F1P1

=（x₁+1，y₁），

F2P2

=（-x₁-1，y₁），再由F₁P₁⊥F₂P₂，得-(x1+1)2+y12=0，
由椭圆方程得1-(x12)/(2)=(x1+1)2，即3x12+4x₁=0，解得x₁=-(4)/(3)或x₁=0．
当x₁=0时，P₁，P₂重合，此时题设要求的圆不存在；
当x₁=-(4)/(3)时，过P₁，P₂，分别与F₁P₁，F₂P₂垂直的直线的交点即为圆心C．
由F₁P₁，F₂P₂是圆C的切线，且F₁P₁⊥F₂P₂，知CP₁⊥CP₂，又|CP₁|=|CP₂|，
故圆C的半径|CP₁|=(√(2))/(2)|P₁P₂|=√(2)|x₁|=(4√(2))/(3)．