关于椭圆部分面积已知椭圆方程是x^2\a^2+y^2\b^2=1,过点（0,M）（b>M>0）作一条直线平行于X轴,求该直线以上部分的椭圆的面积.

Question

关于椭圆部分面积
已知椭圆方程是x^2\a^2+y^2\b^2=1 ,过点（0,M）（b>M>0）作一条直线平行于X轴,求该直线以上部分的椭圆的面积.

Answer 1

直线y=M代入椭圆求出交点
[-a√(1-M^2/b^2),M],[a√(1-M^2/b^2),M]
只要求第一象限内的面积,然后乘以2即可.
第一象限内的面积s/2=∫[0到a√(1-M^2/b^2)]{[b√(1-x^2/a^2)]-M}dx
这个积分可令x=acosθ来做.
s/2=∫[π/2到arccos√(1-M^2/b^2)](aMsinθ-ab)dθ
=-aMcosθ-abθ [π/2到arccos√(1-M^2/b^2)]
=-aM√(1-M^2/b^2)-ab√(1-M^2/b^2)+abπ/2
所以s=abπ-2a(M+b)√(1-M^2/b^2)