1.求y''-2y'-8y=0满足初始条件y(0)=2,y'(0)=-1的特解2.函数z=f(x,y),由方程z^3-3xy^2+3z=1所确定,求∂z/∂x.∂z/∂y3.∫∫(D)√(x^2+y^2)dxdy,D=（x,y)|x^2+y^2≤2x且y≥0

Question

1.求y''-2y'-8y=0满足初始条件y(0)=2,y'(0)=-1的特解
2.函数z=f(x,y),由方程z^3-3xy^2+3z=1所确定,求∂z/∂x.∂z/∂y
3.∫∫(D)√(x^2+y^2)dxdy,D=【（x,y)|x^2+y^2≤2x且y≥0】

Answer 1

1. ∵y''-2y'-8y=0的特征方程是r^2-2r-8=0，则r1=4，r2=-2

              ∴此方程的通解是y=C1e^(4x)+C2e^(-2x)  (C1,C2是任意常数)

              ∵y(0)=2,y'(0)=-1

              ∴代入通解得 C1+C2=2，4C1-2C2=-1

                           ==>C1=1/2，C2=3/2

              故所求特解是y=(e^(4x)+3e^(-2x))/2。

  2.  ∵z^3-3xy^2+3z=1

                     ==>3z^2(∂z/∂x)-3y^2+3(∂z/∂x)=0，3z^2(∂z/∂y)-6xy+3(∂z/∂y)=0

                     ==>(3z^2+3)(∂z/∂x)=3y^2，(3z^2+3)(∂z/∂y)=6xy

              ∴∂z/∂x=3y^2/(3z^2+3)，∂z/∂y=6xy/(3z^2+3)。

  3.  原式=∫<0,π/2>dθ∫<0,2cosθ>r^2dr  (作极坐标变换)

                     =(8/3)∫<0,π/2>(cosθ)^3dθ

                     =(8/3)∫<0,π/2>[1-(sinθ)^2]d(sinθ)

                     =(8/3)[sin(π/2)-(sin(π/2))^3/3]

                     =(8/3)(1-1/3)

                     =16/9。